Come fa una barca a vela a risalire il vento?

Se non ne eravate già al corrente, la prima notizia è che una barca a vela può risalire il vento. Questo fatto viene riassunto di solito nei cosiddetti diagrammi polari, che mostrano la velocità massima alla quale l’imbarcazione può viaggiare relativamente alla direzione del vento reale:

Come si vede, la velocità massima per un angolo della vela di 0 gradi rispetto ad un vento di 14 nodi è zero: non si può veleggiare esattamente controvento! Tuttiavia, a partire da angoli piccoli (andatura di bolina) la velocità diventa non nulla.

Come si spiega questo fatto? Non daremo qui una dimostrazione accurata a causa delle complicazioni del sistema meccanico in esame, ma con qualche approssimazione si può almeno capire il senso fisico del problema.

Per prima cosa supponiamo che lo scafo sia in grado di muoversi esclusivamente lungo la direzione di prua e solo nel verso in avanti (trascuriamo quindi effetti come lo scarroccio, ovvero lo sbandamento laterale). Inoltre supponiamo che la vela sia un piana, e ne ignoriamo la forma (concavità e asimmetria hanno un effetto reale).

Chiamiamo α l’angolo tra la direzione del vento reale W e l’asse dell’imbarcazione, e chiamiamo β l’angolo tra la vela e l’asse della barca.

barca_a_vela

 

Per semplificare la trattazione, assumiamo che la spinta sia dovuta sostanzialmente alla pressione che il vento esercita sulla vela. Per definizione, la pressione e’ data dalla componente perpendicolare della forza, diviso l’area su cui tale forza agisce. Nel nostro caso questo si traduce in F = W sin β . Tuttavia, abbiamo detto che la barca può muoversi solo lungo la direzione del suo asse, per cui solo la componente di F lungo tale asse contribuisce alla propulsione: P = F cos θ.

 

 

 

Per costruzione geometrica, notiamo che:

\frac{\pi}{2} = \theta - \left ( \alpha - \beta \right )

Per cui si ha che:

P = F\cos\theta=F\cos (\frac{\pi}{2}+ (\alpha - \beta ) )=F\sin ( \alpha - \beta ) = W \sin\beta \sin( \alpha-\beta )

Il sistema ha due gradi di libertà, ovvero i due angoli. Fissata la direzione dell’imbarcazione (α), vogliamo sapere qual è l’angolo β tale per cui la propulsione è massima. Per fare ciò imponiamo la condizione di massimo:

\frac{d}{d\beta}\sin\beta \sin (\alpha-\beta) = 0

ovvero:

\cos\beta\sin (\alpha-\beta) - \sin\beta \cos (\alpha - \beta ) = 0

ricordando che sin( x+y ) = cosx siny – sinx cosy e identificando x=β e y=( α – β ) possiamo riscrivere tale condizione come:

d/dβ sin(  β –  ( α – β ) ) = sin( 2β-α ) = 0 => β = α/2

La velocità massima risulta quindi essere
W sinβ sin( α – β ) = W sin(α/2) sin( α – α/2 ) = W (sin (α/2) )^2.

Possiamo vedere il grafico polare di questa funzione utilizzando Wolfram:Alpha

polar plot sin^2 (x/2)

polar_plot_sailboat
questo è quello che si ottiene: si nota che ha le caratteristiche di base del diagramma polare del vento. E’ chiaro che includendo gli effetti di resistenza dell’acqua, dell’aria, le turbolenze e le asimmetrie nella costruzione meccanica di vela e scafo si otterrebbe un risultato più realistico.

La generazione della forza di pressione sulla vela è in realtà un po’ più complessa di quanto detto finora.

effetto_coandaair_lift

Senza entrare nei dettagli fini, possiamo dire che essa è dovuta al principio di azione e reazione (terza legge della dinamica), dove la forza applicata è causata dalla viscosità dell’aria a contatto con la superficie velica. Ogni tratto della vela provoca un attrito col vento e ne deflette la direzione (effetto Coandã) causando quindi una accelerazione (e quindi una forza).Di conseguenza, subisce una reazione. La somma totale dei contributi causa la spinta.

vela_linee_di_pressione

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