La Teoria della Relatività: Generale, Ristretta, Speciale o meglio Locale

A 7743Quando ero bambino trascorrevo interminabili pomeriggi nel paese dove abitava una delle mie nonne. Specialmente durante l’inverno, poco interessato ai risultati delle partite di Serie A e attanagliato dalla noia, mi capitava di guardare dalla finestra le luci provenienti da un altro piccolo centro abitato, abbarbicato sulla cima della collina di fronte. Le luci delle case e dei lampioni sfarfallavano un poco, ma erano pressoché stabili. Di quando in quando, una nuova luce appariva improvvisamente, seguiva discendendo il profilo della collina, e infine spariva dietro una curva invisibile nel buio della notte. Erano le luci di automobili, dirette verso la strada che le avrebbe portate verso la città.

Chi guidava quelle macchine? Chi erano quelle persone? Che faccia avevano, come erano vestiti, per quale motivo stavano viaggiando? Erano solo piccole curiosità, ma come fare a soddisfarle? Se solo avessi potuto volare al di là della vallata, come i balestrucci che avevano nidificato sotto il tetto della casa…Ma forse la macchina sarebbe già passata. Avrei dovuto volare più velocemente, allora sì che sarei riuscito a raggiungerla. E se il paese fosse stato più lontano? Avrei dovuto viaggiare ancorapiù velocemente…

“Papà, si può andare istantaneamente da un’altra parte?” – “No. Niente può viaggiare più veloce della luce.”. Ci avrei messo altri 15 anni per capire meglio il senso di questa risposta.

Relatività, che poi sarebbe universalità

La teoria della relatività fornisce un apparato matematico per descrivere come uno stesso fenomeno fisico appare ad osservatori posti in differenti condizioni di posizione e di moto dell’uno rispetto all’altro. Al centro di questa teoria c’è l’idea che alcune quantità, dette invarianti relativistiche, se opportunamente costruite hanno lo stesso valore numerico per qualunque osservatore. Qui nasce uno dei più grandi fraintendimenti del ‘900: in effetti, non tutto è relativo. E’ proprio cercando ciò che è uguale per tutti che saremo in grado di comunicare le nostre osservazioni, e comunicarle agli altri, che potranno verificare ciò che sosteniamo sia vero. La Natura non ammette fake news.

Questa teoria fu formulata in varie fasi da Albert Einstein agli inizi del XX secolo. Viene tradizionalmente suddivisa in Relatività Ristretta (o Specialenel mondo anglofono) e Generale: la prima è valida se i due osservatori sono in uno stato di moto la cui differenza tra le velocità è costante, ovvero non sono presenti accelerazioni. Si tratta chiaramente di una approssimazione, anche se molto utile. La Relatività Generale tiene anche conto di eventuali accelerazioni, ed in particolare è nota al grande pubblico per essere in grado di dare una spiegazione dell’origine della forza di gravità.

 

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La teoria di Einstein viene solitamente presentata seguendo lo sviluppo storico: il giovane Albert durante un soggiorno in Toscana insegue in bicicletta un raggio di luce; mentre Albert lavora all’Ufficio Brevetti di Berna, lavorando ad una proposta sulla sincronizzazione degli orologi si rende conto che se le equazioni che descrivono l’elettromagnetismo sono veritiere, ne consegue che spazio e tempo non possono essere assoluti; qualche anno dopo Albert prende un ascensore e si rende conto che cadere a causa delle gravità è indistinguibile da una banale accelerazione di uguale direzione e intensità; Albert viene a conoscenza di un oscuro ramo della matematica detto geometria differenziale e fornisce all’Umanità un nuovo modo di guardare all’Universo; il 29 maggio 1919 Arthur Eddington osserva la posizione delle stelle durante un’eclissi solare e dimostra che la gravità fa curvare un raggio di luce come predetto da Albert; Karl Schwarzschild, un astronomo tedesco, deriva l’esistenza dei buchi neri dalla teoria della relatività, ma Albert non gli crede (ma si sbaglia); Albert predice le onde gravitazionali, ma non crede che potranno mai essere osservate (ma si sbaglia); Albert predice che l’Universo si espande, ma non ci crede (ma si sbaglia); infine i nazisti arrivano al potere in Germania, lui fugge in America, e lavora fino al termine della sua vita nel tentativo di unire Relatività Generale ed Elettromagnetismo in un’unica teoria di campo unificato (ma si sbaglia). Per saperne di più, questo e molto altro viene raccontato nella mirabile biografia ad opera di Walter Isaacson.

Per quanto corretto, questo approccio dal particolare al generale maschera un aspetto fondamentale di questa vicenda: esiste una sola teoria della relatività! Se potessimo riavvolgere il nastro della Storia infinite volte, potrebbe accadere che qualche volta il giovane Albert si getta sul letto, il materasso si piega sotto il suo peso, la pila di vestiti lavati e piegati gli cade addosso, ed intuisce l’origine della forza di gravità. Potrebbero esserci infiniti modi di scoprire la Relatività Generale, ma una volta ottenuta la teoria più generale, quella denominata ristretta ne deriva di conseguenza.

Relatività, che poi sarebbe geometria

Alla base di tutto c’è il concetto di distanza: da qui a lì e da lì a qui, la distanza intesa come percorso più breve è la stessa. Si tratta di un concetto piuttosto intuitivo. Quello che è meno ovvio, al punto da doverlo addirittura postulare, è che alla Natura piace fare economia e per questo, tra infinite alternative, sceglie sempre il percorso più breve, ma non nel senso comunemente accettato del termine. Un’altra grande intuizione di Einstein è infatti la fusione delle dimensioni spaziali con quella temporali in una entità detta spaziotempo (a volte anche cronotopo) : è un palcoscenico nel quale si svolgono i fatti del mondo, ed è dotato di una caratteristica fondamentale che è la possibilità di deformalo. Vedremo in seguito come questo avviene. Ogni punto dello spaziotempo è detto evento. La distanza tra due eventi non è una distanza puramente spaziale, ma spaziotemporale. La Natura, quindi, si muove da A a B seguendo il percorso spaziotemporale più corto detto geodetica. Le parole, purtroppo, fanno difetto: corto, breve, rapido indicano sempre relazioni di spazio o di tempo.

Un aspetto piuttosto singolare della teoria di Einstein è il cosiddetto Principio di Covarianza Generale. L’idea alla base, anche questa piuttosto semplice, è che il sistema di coordinate adottato per calcolare le distanze non deve influire sul risultato, ma essere solo uno strumento per effettuare i calcoli. Per fare un esempio, per andare da A a B in una città come New York, dove le strade sono (quasi) tutte disposte in una griglia ortogonale, un sistema di coordinate cartesiane (x,y) potrebbe risultare ottimale. Viceversa, in una città con pianta medioevale come Milano, dove le strade principali si diramano radialmente dalla piazza principale, un sistema di coordinate polari (r,θ) potrebbe risultare più comodo. La scelta è determinata principalmente dalla città che vogliamo esplorare, e dalla comodità d’uso, ma una camminata di qualche chilometro ci risulterebbe stancante in entrambi i casi!

Il problema, in fin dei conti, è capire come misurare una distanza. Per questo è necessario armarsi di un apparato matematico che fu introdotto, storicamente, qualche decennio prima della Relatività Generale. Innanzi tutto, lo spaziotempo (qualunque sia la sua forma) è equipaggiato di un ente matematico denominato tensore metrico che ne caratterizza la geometria punto per punto. Tramite opportune operazioni, questo può essere utilizzato per definire distanze, angoli, e curvatura. Gli esperti discutono da molto tempo su quali di questi concetti siano fondamentali e quali possano essere derivati dai primi.

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In una città come Milano è più conveniente rappresentare le distanze in termini di allontanamento dal centro e angolo rispetto al nord.

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A Manhattan basta orientarsi lungo le direzioni nord-sud e est-ovest senza correre rischio di perdersi tra i grattacieli.

 

È forse la curvatura della spaziotempo uno dei concetti allo stesso tempo più affascinanti e più difficili da afferrare. Così come possiamo dire di aver camminato per un chilometro per andare da A a B, non è detto che la fatica spesa sia uguale se il percorso è stato effettuato in pianura o in collina. In mancanza di una mappa della città, come ad esempio Bologna con i suoi colli da esplorare a bordo di una Vespa 50 Special, il modo suggerito (si fa per dire) ad Einstein fu quello di “farsi un giro” (nel senso letterale di un percorso chiuso, andando e tornando nello stesso luogo) e tenere traccia dell’energia spesa nel tragitto, ovvero di salite e discese. Quindi, di farsi un altro giro che connette gli stessi punti ma lungo un percorso diverso. E poi ancora, infinite volte. Se vi chiedete quanto sia difficile tradurre questa metafora in una teoria matematica propriamente detta, sappiate che anche il giovane Albert dovette chiedere consiglio a persone più esperte di lui.

 

Relatività, che poi sarebbe come saltare su un materasso

Come si applica tutto ciò al mondo circostante? Nella visione della Relatività Generale, l’universo è costituito da alcune entità principali: spazio, tempo, materia ed energia. Come già discusso, le prime due appaiono sempre abbinate nello spaziotempo. Conseguenza di questo è che anche materia ed energia sono due facce di una stessa moneta (descritta dal tensore energia-impulso). Per cui, di fatto, ci sono solo due entità fondamentali. Le cosiddette equazioni di campo che codificano la teoria di Einstein sono equazioni di tipo differenziale che ci dicono quali sono le relazioni dinamiche tra queste due entità: la presenza di energia-materia “piega” lo spazio-tempo inducendo una curvatura non nulla, e viceversa la presenza di una curvatura causa il moto dei corpi dotati di massa lungo un tratto di geodetica.

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La presenza di un corpo molto massivo come il sole provoca un avvallamento nello spazio-tempo, che a sua volta causa una deviazione nella traiettoria della luce proveniente da una stella situata dietro al sole stesso, rendendola visibile. In questo modo è stato possibile provare per la prima volta l’esattezza della teoria di Einstein.

Scopo degli studiosi della teoria della relatività è quello di trovare soluzioni alle equazioni di campo, ovvero un insieme di funzioni che soddisfano tali equazioni differenziali. Come si fa a trovare una soluzione alle equazioni di campo? Non esiste alcuna vera e propria regola, al punto tale che lo stesso Einstein credeva inizialmente che nessuna soluzione sarebbe mai stata trovata a causa della complessità del problema, solo per essere sconfessato pochi mesi dopo dalla “scoperta” delle equazioni che descrivono buchi neri stazionari. Altri esempi di queste funzioni sono quelle che descrivono la propagazione dei raggi luminosi e il moto dei corpi celesti nello spazio, le onde gravitazionali, e altri ancora meno noti al grande pubblico come l’effetto detto di lente gravitazionale. Il bello (o il difficile) è che le equazioni di campo non ci dicono affatto quante siano le possibili soluzioni. Per tante che ne sono state trovate negli ultimi 100 anni, potrebbero ancora essercene molte altre che non abbiamo ancora immaginato (nè ovviamente trovato).

Una soluzione…Speciale

Da un punto di vista operativo, si può agire partendo da due fronti. Leggendo le equazioni da sinistra, è necessario definire una varietà differenziabile dotata di tensore metrico, che descrive la forma e la curvatura dello spaziotempo. Applicando le equazioni differenziali, si trova la distribuzione di massa-energia corrispondente. Come sottolineato in precedenza, le equazioni sono dinamiche, ovvero partendo da una certa configurazione iniziale, le soluzioni evolvono raccontandoci come la materia si muove sul palcoscenico quadridimensionale, che a sua volta si flette, condizionando il moto della materia, e così via. Un altro modo, complementare al primo, è quello di leggere le equazioni da destra: in questo caso, ad essere nota in partenza è la distribuzione di energia-materia, ad esempio tutta concentrata in un unico punto come nel caso dei buchi neri. Le equazioni di campo ci diranno quale varietà differenziabile viene indotta – nell’esempio, creando una sorta di “involucro” immateriale chiamato orizzonte degli eventi, dal quale nulla sembra poter uscire.

La soluzione più semplice, almeno intuitivamente, sarebbe quella di uno spazio vuoto, cioè completamente privo sia di materia che di energia. Purtroppo, neanche in un caso all’apparenza così banale, le equazioni si lasciano piegare facilmente: infatti, è stata trovata più di una soluzione che soddisfa le equazioni di campo. Una, diventata recentemente celeberrima, è quella che descrive la trasmissione delle onde gravitazionali, ovvero una compressione ed espansione ritmata delle distanze nello spaziotempo.

interferometro

L’interferometro di Michelson è la tipologia più comune di interferometro. Una figura d’interferenza è ottenuta suddividendo, indirizzando su percorsi diversi, e facendo convergere nuovamente un fascio di fotoni. I due percorsi devono avere lunghezze differenti, o avvenire in materiali diversi, in modo che sia notevole uno sfasamento nel cammino ottico dei due fasci suddivisi.

Vale la pena ricordare a questo proposito un famoso esperimento di ottica compiuto da Michelson e Morley nel 1887. Usando uno strumento detto interferometro, fu possibile dimostrare che la velocità della luce nel vuoto sia costante. Il risultato, all’epoca sorprendente, invalidò l’ipotesi secondo la quale la luce si propagherebbe attraverso un mezzo denominato etere luminifero, aprendo la strada ad interpretazioni alternative che sfociarono poi nella teoria di Einstein. Curiosamente, l’esperimento LIGO/Virgo che ha permesso di osservare per la prima volta le onde gravitazionali non è altro che l’evoluzione di questo stesso strumento, in grado però di osservare spostamenti piccolissimi: la distanza tra il laser e lo specchio è variata di meno del diametro di un protone su 4 km. Chissà quali conclusioni avrebbero tratto i due scienziati americani se avessero avuto a disposizione un interferometro così sensibile!

Tra le pieghe della Relatività Generale si annida infine una soluzione speciale: quella di un universo vuoto e piatto, in cui nulla accade. Per motivi storici, questa soluzione è detta di Minkowski, dal nome del professore di geometria di Einstein. In quanto piatto, tale universo non vede nè può causare accelerazioni. È, insomma, l’universo semplificato della Relatività Ristretta, la prima versione formulata da Einstein nel 1905 mentre rifletteva su come sincronizzare gli orologi nella città di Berna propagando un segnale elettromagnetico.

In realtà, non è affatto facile derivare la Relatività Ristretta dalla Relatività Generale. Vari approcci sono stati trovati nel corso degli anni, ma il succo del discorso è il seguente: così come la Terra, seppure notoriamente sferica, appare piatta ad un osservatore posto sulla sua superficie, qualsiasi superficie curva appare altrettanto piatta se vista da una certa angolatura. Si parla dunque di una serie di approssimazioni successive, il cui primo termine è proprio quello di un universo privo di curvatura. Nel gergo della geometria differenziale, questo concetto è espresso in maniera concisa dicendo che una superficie curva appare localmente piatta. È per questo motivo che sarebbe forse meno ambiguo chiamare la prima versione della teoria di Einstein Relatività Locale, piuttosto che Ristretta o Speciale. Questa tecnica è anche detta approssimazione post-Newtoniana.

Una volta che si ha in mano una metrica che descrive uno spazio-tempo piatto e statico, è immediato derivare le cosiddette Trasformazioni di Lorentz, che altro non sono che rotazioni nello spazio e nel tempo, le cui conseguenze forse più vistose sono la dilatazione dei tempi osservata nel decadimento delle particelle subatomiche, la contrazione delle lunghezze di cui bisogna tener conto per far funzionare correttamente il sistema GPS, nonché la relazione di proporzionalità tra energia e massa E = mc^2 che è forse l’equazione più famosa della storia della fisica. Da un punto di vista storico le cose sono andate diversamente: è dallo studio delle equazioni che descrivono i fenomeni elettromagnetici (dette Equazioni di Maxwell) che Einstein dedusse le conseguenze dell’invarianza della velocità della luce per tutti gli osservatori. E’ forse vero il contrario, ovvero che sia l’elettromagnetismo a dover obbedire a queste regole, a causa della natura dello spaziotempo.

In conclusione, come disse un noto regista italiano, le parole sono importanti: il cuore della teoria di Einstein non è tanto il punto di vista di ciascun osservatore, quanto il tentativo di trovare ciò che li mette tutti d’accordo. La teoria della relatività è quindi in realtà una teoria degli universali. Quanti fraintendimenti sono stati provocati da un nome poco esatto, e quante volte tale teoria è stata tirata in ballo per giustificare azioni e pensieri che nulla avevano di universale? Se tutto questo vi ha lasciato confusi e stupefatti, non siete soli: lo stesso Einstein disse, dopo aver presentato la teoria della relatività, che la cosa più incomprensibile è che l’universo sia comprensibile.

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